Question

8．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+k（1-{a}^{2}），（x≥0）}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}-4a）x+（3-a）^{2}，（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a∈R，若對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₁，x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）-f（x₁）=0成立，k=f（a）=$\frac{（3-a）^{2}}{1-{a}^{2}}$（0＜a≤4）．（并且寫出a的取值范圍）

Answer 1

分析 由于函數f（x）是分段函數，且對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，得到x=0時，f（x）=k（1-a²），進而得到k．

解答 解：由于函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+k（1-{a}^{2}），（x≥0）}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}-4a）x+（3-a）^{2}，（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a∈R，
則x=0時，f（x）=k（1-a²），
又由對任意的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立
∴函數必須為連續函數，即在x=0附近的左右兩側函數值相等，
∴（3-a）²=k（1-a²）（k≠0），
由題意知二次函數y=x²+（a²-4a）x+（3-a）²的對稱軸不能在y軸的左側，即a²-4a≤0，
即0≤a≤4，
∴k=$\frac{（3-a）^{2}}{1-{a}^{2}}$（0＜a≤4）．
故答案為：$\frac{（3-a）^{2}}{1-{a}^{2}}$（0＜a≤4）．

點評 本題考查了二次函數的性質，通過圖象比較函數值的大小，數形結合有助于我們的解題，形象直觀．