Question

13．已知a，b為正常數，x，y為正實數，且$\frac{a}{x}+\frac{y}=2$，求x+y的最小值$\frac{a+b}{2}$+$\sqrt{ab}$．

Answer 1

分析 求出$\frac{a}{2x}$+$\frac{2y}$=1，利用乘“1”法，求出代數式的最小值即可．

解答 解：∵a，b為正常數，x，y為正實數，且$\frac{a}{x}+\frac{y}=2$，
∴$\frac{a}{2x}$+$\frac{2y}$=1，
∴（x+y）（$\frac{a}{2x}$+$\frac{2y}$）
=$\frac{a+b}{2}$+$\frac{bx}{2y}$+$\frac{ay}{2x}$
≥$\frac{a+b}{2}$+2$\sqrt{\frac{bx}{2y}•\frac{ay}{2x}}$
=$\frac{a+b}{2}$+$\sqrt{ab}$，
當且僅當x²=$\frac{a}$y²時“=”成立，
故答案為：$\frac{a+b}{2}$+$\sqrt{ab}$．

點評 本題考查了乘“1”法的應用，考查基本不等式的性質，是一道基礎題．