Question

5．△ABC中，A（0，-2），B（0，2），且|CA|，|AB|，|CB|成等差數列，則C點的軌跡方程是$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1（x≠0）$．

Answer 1

分析 由|CB|，|AB|，|CA|成等差數列，可得|CB|+|CA|=2•|AB|=8，故C點軌跡為以A，B兩點為焦點的橢圓，故可用定義法求軌跡方程．

解答 解：因為A（0，-2），B（0，2），且|CA|，|AB|，|CB|成等差數列，
所以|CB|+|CA|=2•|AB|=8，且8＞|AB|，
由橢圓的定義可知點C的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為8的橢圓（去掉長軸的端點），
所以a=4，c=2，b=2$\sqrt{3}$．
故頂點C的軌跡方程為$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1（x≠0）$．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1（x≠0）$．

點評 本題考查定義法求軌跡方程，考查曲線與方程的關系，解題的關鍵是確定點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓．