Question

10．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為$\frac{π}{3}$的單位向量，若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{39}}{26}$

Answer 1

分析 根據平面向量數量積的定義公式求向量夾角的余弦值即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為$\frac{π}{3}$的單位向量，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+6\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{9\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=$\sqrt{1+6×\frac{1}{2}+9}$=$\sqrt{13}$，
|$\overrightarrow{b}$|=|2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{{4\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}{+\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=$\sqrt{4-4×\frac{1}{2}+1}$=$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=2${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+5$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=2×1+5×$\frac{1}{2}$-3×1=$\frac{3}{2}$；
∴向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角θ的余弦值為：
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{13}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{39}}{26}$．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量數量積的定義與應用問題，是基礎題目．