Question

11．已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿對角線AC折起，使二面角B-AC-D為60°，則點B到△ACD所在平面的距離為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用折疊前后的量的關系可得∠BGD為二面角B-AC-D的平面角，在平面BGD中，過B作BO⊥DG，垂足為O，由面面垂直的性質可得BO為B到△ACD所在平面的距離．然后求解直角三角形得答案．

解答 解：如圖1，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，
連接AC，BD，交于G，則BG⊥AC，DG⊥AC，且BG=AG=$\sqrt{3}$．
沿對角線AC折起，使二面角B-AC-D為60°，如圖2，
由BG⊥AC，DG⊥AC，可知∠BGD為二面角B-AC-D的平面角等于60°．
且AC⊥平面BGD，
又AC?平面ACD，則平面BGD⊥平面ADC，平面BGD∩平面ADC=DG，
在平面BGD中，過B作BO⊥DG，垂足為O，則BO⊥平面ADC，
即BO為B到△ACD所在平面的距離．
在Rt△BOG中，由BG=$\sqrt{3}$，∠BGO=60°，得BO=$\sqrt{3}sin60°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查空間中點線面間距離的計算，考查空間想象能力與思維能力，關鍵是明確折疊問題折疊前后的變量與不變量，是中檔題．