Question

已知函數，設曲線在與x軸交點處的切線為，為的導函數，滿足．

（1）求；

（2）設，m＞0，求函數在[0，m]上的最大值；

（3）設，若對于一切，不等式恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（1） ；

（2）；

（3）．

【解析】

試題分析：（1）求導函數得，由得，導函數關于直線，從而可求的值，由已知條件可得切點坐標，以及根據導數幾何意義可求和的值；（2）由（1）得，從而可得，畫出分段函數圖像，數形結合求得其最小值；（3）由已知可得，從而不等式可變現為，進而變現為恒成立，去絕對值號，參變分離求實數實數t的取值范圍．

試題解析：（1），

∵，∴函數的圖象關于直線對稱，， 2分

∵曲線在與x軸交點處的切線為，∴切點為（3，0），

∴，解得c=1，d=-3，則 5分

（2）∵，

∴ 7分

當0＜m≤時，

當＜m≤時，，

當m＞時，，

綜上 10分

（3），，,

當時，|2x+1|=2x+1，所以不等式等價于恒成立，

解得，且x≠t， 13分

由，得，，所以，

又x≠t，∵ ，∴所求的實數t的的取值范圍是． 16分

考點：1、導數的幾何意義；2、二次函數的最值；3、絕對值不等式.