Question

在平面直角坐標(biāo)系中，長度為3的線段AB的端點(diǎn)A、B分別在軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M在線段AB上，且,

（1）若點(diǎn)M的軌跡為曲線C，求其方程；

（2）過點(diǎn)的直線與曲線C交于不同兩點(diǎn)E、F，N是曲線上不同于E、F的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.

 

Answer 1

（1）C的方程是；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，則.用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得與之間的關(guān)系式，將此關(guān)系式代入即得只含的方程，此即M的軌跡方程.（2）首先考慮直線的斜率不存在的情況，即，此時(shí).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立，再用韋達(dá)定理即得（含k的代數(shù)式）.由題知過N的直線，且與橢圓切于N點(diǎn)時(shí)，最大，故設(shè)

聯(lián)立與橢圓方程得，此時(shí).的距離即為點(diǎn)N到EF的距離，所以，化簡，平方后利用導(dǎo)數(shù)可得其最大值.

（1）由題知，設(shè)

有代入得，

所以曲線C的方程是 4分

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即，此時(shí) 5分

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，

聯(lián)立，有.

7分

由題知過N的直線，且與橢圓切于N點(diǎn)時(shí)，最大，故設(shè)

聯(lián)立與橢圓方程得，此時(shí)

的距離，所以

化簡 10分

設(shè)，有

，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即時(shí)

綜上所述 .13分.

考點(diǎn)：1、軌跡方程的求法；2、直線與圓錐曲線的關(guān)系；3、利用導(dǎo)數(shù)求最值.