Question

15．已知函數f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{bx+c}$的定義域為{x∈R|x≠0}，且f（1）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在[1，+∞）上的單調性，并用定義證明結論；
（3）求函數在區間[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函數的定義域以及函數值考查方程求解即可．
（2）利用函數的單調性的定義證明即可．
（3）利用函數的單調性，真假求解函數的最值．

解答 解：（1）由已知bx+c≠0，即x≠0，∴b≠0，c=0，
又∵f（1）=2，∴b=1，
∴$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}$…（4分）
（2）函數f（x）在[1，+∞）上是增函數．
證明：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}=（{{x_1}-{x_2}}）（{1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}}）$…（6分）
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，$1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0$∴$（{{x_1}-{x_2}}）（{1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}}）＜0$，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在[1，+∞）上是增函數．…（8分）
（3）由（2）知函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴函數f（x）在[1，2]上也是增函數，
∴$f{（x）_{max}}=f（2）=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}，f{（x）_{min}}=f（1）=1+1=2$．
故所求函數的最大值為$\frac{5}{2}$，最小值為2．…（12分）

點評 本題考查函數的綜合應用，函數的解析式的求法，單調性的判斷與證明，單調性的應用，考查計算能力．