Question

17．已知函數f（x）=log_a（x+1），函數g（x）=log_a（4-2x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數y=f（x）-g（x）的定義域；
（2）求使函數y=f（x）-g（x）的值為正數的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據對數的真數要大于0，寫出滿足函數有意義的不等式組求解即可．
（2）將等式轉化為不等式問題求解．

解答 解：（1）由題意可知，函數f（x）=log_a（x+1），函數g（x）=log_a（4-2x）（a＞0，且a≠1）．
那么：函數y=f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（4-2x）
定義域滿足：$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{4-2x＞0}\end{array}\right.$，
解得：-1＜x＜2．
∴函數y=f（x）-g（x）的定義域是（-1，2）．
（2）函數y=f（x）-g（x）的值為正數，即f（x）＞g（x）
可得：log_a（x+1）＞log_a（4-2x）
當a＞1時，可得：x+1＞4-2x，
解得：x＞1．
又∵定義域：-1＜x＜2．
∴解集為（1，2）
當0＜a＜1時，可得：x+1＜4-2x，
解得：x＜1．
又∵定義域：-1＜x＜2．
∴解集為（-1，1）
綜上所述：當a＞1時，x的取值范圍是（1，2）；
當0＜a＜1時，x的取值范圍是（-1，1）．

點評 本題考查了對數函數的定義域的求法和對底數a的討論求解不等式的問題．屬于中檔題．