Question

已知 a＞1，若函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點為m，g（x）=log_ax+x-4的零點為n，則

1

m

+

4

n

的取值范圍是（　　）

• A、[

  9

  4

  ，+∞)
• B、[

  3

  2

  ，+∞)
• C、[1，+∞）
• D、[

  7

  3

  ，+∞)

Answer 1

考點：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)的零點、互為反函數(shù)的性質(zhì)可得m+n=4，再利用“乘1法”與基本不等式 的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵a＞1，函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點為m，g（x）=log_ax+x-4的零點為n，
∴m+n=4，m，n＞0．
∴

1

m

+

4

n

=

1

4

(m+n)(

1

m

+

4

n

)=

1

4

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

4

(5+2

n m • 4m n

)=

9

4

，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=

8

3

取等號．
∴

1

m

+

4

n

的取值范圍是[

9

4

，+∞)．
故選：A．

點評：本題考查了函數(shù)的零點、互為反函數(shù)的性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式 的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．