Question

已知正項(xiàng)數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.

 

Answer 1

（1）；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、放縮放、累加法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問(wèn)，法一，利用轉(zhuǎn)化已知表達(dá)式中的，證明數(shù)列為等差數(shù)列，通過(guò)，再求；法二，利用轉(zhuǎn)化，證明數(shù)列為等差數(shù)列，直接得到的通項(xiàng)公式；第二問(wèn)，要證，只需要證中每一項(xiàng)都小于中的每一項(xiàng)，利用放縮法，先得到，，只需證，通過(guò)放縮法、累加法證明不等式.

（1）法一：由得

當(dāng)時(shí)，，且，故 1分

當(dāng)時(shí)，，故，得，

∵正項(xiàng)數(shù)列，

∴ 4分

∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.

∴ ，

∴ . 6分

法二：

當(dāng)時(shí)，，且，故 1分

由得， 2分

當(dāng)時(shí)，

∴ ，

整理得

∵正項(xiàng)數(shù)列，，

∴ ， 5分

∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，

∴ . 6分

（2）證明：先證： 7分

.

故只需證， 9分

因?yàn)閇]2

所以 12分

所以

當(dāng)取得到不等式，

相加得：

即： 14分

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、放縮放、累加法.