Question

已知函數f（x）=ax²+bx，g（x）=lnx．
（1）當a=1，b=2時，求函數y=f （x）-g （x）的圖象在點（1，f （1））處的切線方程；
（2）若2a=1-b（b＞1），討論函數y=f （x）-g （x）的單調性；
（3）若對任意的b∈[-2，-1]，均存在x∈（1，e）使得f （x）＜g （x），求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的導數，利用導數的幾何意義即可求出切線方程；
（2）求出函數的導數，利用函數的單調性和導數之間的關系即可；
（3）根據條件分別求出兩個函數的最值進行比較即可．

解答： （1）解：令F（x）=f（x）-g（x）=ax²+bx-lnx，
則F′(x)=2ax+b-

1

x

（1分）
當a=1，b=2時，F'（1）=2a+b-1=3，F（1）=a+b=3（2分）
∴函數y=f （x）-g （x）的圖象在點（1，f （1））處的切線方程為y-3=3（x-1），
即3x-y=0（3分）
（2）解：F′(x)=(1-b)x+b-

1

x

=

(1-b)x2+bx-1

x

=-

[(b-1)x-1](x-1)

x

(x＞0)（5分）
當

1

b-1

＜1，即b＞2時，F（x）的增區間為(

1

b-1

，1)，減區間為(0，

1

b-1

)，(1，+∞)（6分）
當

1

b-1

=1，即b=2時，F（x）在（0，+∞）單調遞減（7分）
當

1

b-1

＞1，即b＜2時，F（x）的增區間為(1，

1

b-1

)，減區間為（0，1），(

1

b-1

，+∞)（8分）
（3）解：依題意，?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e）使得f （x）＜g （x）成立
即?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e），F（x）＜0成立（9分）
即?b∈[-2，-1]，a＜

lnx-bx

x2

在（1，e）內有解，a＜(

lnx-bx

x2

)max（10分）
令G(x)=

lnx-bx

x2

，則G′(x)=

bx+1-2lnx

x3

（11分）
∵b∈[-2，-1]，x∈（1，e），
∴-2x+1≤bx+1≤-x+1＜0，-2ln x＜0
因此G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e）內單調遞減（12分）
又G（1）=-b，∴G（x）_max=-b∈[1，2]（13分）
∴a≤1，即實數a的取值范圍是（-∞，1]．（14分）

點評：本題主要考查導數的綜合應用，要求熟練掌握，導數的幾何意義，函數單調性最值和導數之間的關系，考查學生的綜合應用能力．