Question

如圖所示，已知D為△ABC的BC邊上一點，⊙O₁經(jīng)過點B、D交AB于另一點E，⊙O₂經(jīng)過點C、D交AC于另一點F，⊙O₁與⊙O₂交于點G．

(1)求證：∠EAG＝∠EFG；
(2)若⊙O₂的半徑為5，圓心O₂到直線AC的距離為3，AC＝10，AG切⊙O₂于G，求線段AG的長．

Answer 1

（1）見解析   （2）2

解：(1)證明：連接GD，
因為四邊形BDGE，CDGF分別內接于⊙O₁，⊙O₂，
∴∠AEG＝∠BDG，∠AFG＝∠CDG，
又∠BDG＋∠CDG＝180°，
∴∠AEG＋∠AFG＝180°．
即A，E，G，F(xiàn)四點共圓，∴∠EAG＝∠EFG．
(2)因為⊙O₂的半徑為5，
圓心O₂到直線AC的距離為3，
所以FC＝2＝8，
又AC＝10，∴AF＝2，∵AG切⊙O₂于G，
∴AG²＝AF·AC＝2×10＝20，∴AG＝2．