Question

如圖，圓O的直徑AB＝8，圓周上過點C的切線與BA的延長線交于點E，過點B作AC的平行線交EC的延長線于點P．

(1)求證：BC²＝AC·BP；
(2)若EC＝2，求PB的長．

Answer 1

（1）見解析   （2）

解：(1)∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB＝90°．
又AC∥BP，∴∠ACB＝∠CBP，∠ECA＝∠P．
∵EC為圓O的切線，∴∠ECA＝∠ABC，∴∠ABC＝∠P，
∴△ACB∽△CBP．
∴＝，即BC²＝AC·BP．
(2)∵EC為圓O的切線，EC＝2，AB＝8，
∴EC²＝EA·EB＝EA(EA＋AB)，∴EA＝2．
∵∠ECA＝∠ABC，∴△ACE∽△CBE，∴＝＝．
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC²＋BC²＝AB²．
∴AC＝，由＝，可得PB＝．