Question

某公司生產某種消防安全產品，年產量x臺（0≤x≤100，x∈N）時，銷售收入函數R（x）=3000x-20x²（單位：百元），其成本函數滿足C（x）=500x+b（單位：百元）．已知該公司不生產任何產品時，其成本為4000（百元）．
（1）求利潤函數P（x）；
（2）問該公司生產多少臺產品時，利潤最大，最大利潤是多少？
（3）在經濟學中，對于函數f（x），我們把函數f（x+1）-f（x）稱為函數f（x）的邊際函數，記作Mf（x）．對于（1）求得的利潤函數P（x），求邊際函數MP（x）；并利用邊際函數MP（x）的性質解釋公司生產利潤情況．（本題所指的函數性質主要包括：函數的單調性、最值、零點等）

Answer 1

解：（1）由題意，x=0，b=4000，
所以C（x）=500x+4000，
P（x）=R（x）-C（x）=3000x-20x²-500x-4000
=-20x²+2500x-4000，0≤x≤100．
（2）P（x）=，（0≤x≤100，x∈N）
所以x=62或x=63．
P（x）_max=P（62）=P（63）=74120（百元）．
（3）MP（x）=P（x+1）-P（x）=-40x+2480（0≤x≤99，x∈N）
邊際函數為減函數，說明隨著產量的增加，每生產一臺的利潤與生產前一臺利潤相比在減少；
當x=0時，邊際函數取得最大值為2480，說明生產第一臺的利潤差最大；
當x=62時，邊際函數為零，說明生產62臺時，利潤達到最大．
分析：（1）由題意，x=0，b=4000，所以C（x）=500x+4000，P（x）=R（x）-C（x）=3000x-20x²-500x-4000=-20x²+2500x-4000，0≤x≤100．
（2）P（x）=，（0≤x≤100，x∈N），由此能求出最大利潤和取得最大利潤時的產量．
（3）MP（x）=P（x+1）-P（x）=-40x+2480（0≤x≤99，x∈N）．邊際函數為減函數，說明隨著產量的增加，每生產一臺的利潤與生產前一臺利潤相比在減少；說明生產第一臺的利潤差最大；生產62臺時，利潤達到最大．
點評：本題考查函數在生產實際中的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．