Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，
側棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中點．
（1）證明PA∥平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結論．

Answer 1

解：（1）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
設PD=CD=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
所以=（2，0，-2），=（0，1，1），=（2，2，0）．
設=（x，y，z）是平面BDE的一個法向量，
則由，得；
取=-1，則=（1，-1，1），
∵•=2-2=0，
∴⊥，又PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）由（1）知=（1，-1，1）是平面BDE的一個法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一個法向量．
設二面角B-DE-C的平面角為θ，由圖可知θ=＜，＞，
∴cosθ=cos＜，＞===，
故二面角B-DE-C余弦值為．
（3）∵=（2，2，-2），=（0，1，1），
∴•=0+2-2=0，∴PB⊥DE．
假設棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設=λ（0＜λ＜1），
則=（2λ，2λ，-2λ），=+=（2λ，2λ，2-2λ），
由•=0得4λ²+4λ²-2λ（2-2λ）=0，
∴λ=∈（0，1），此時PF=PB，
即在棱PB上存在點F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF．
分析：（1）建立空間直角坐標系，根據直線所在的向量與平面的法向量相互垂直，并且直線不在平面內可得直線與平面平行．
（2）分別求出兩個平面的法向量，利用向量的有關運算計算出兩個向量的夾角，進而得到二面角平面角的余弦值．
（3）假設存在點F，則直線PB所在的向量與平面DEF的法向量平行，根據這個條件可得到一個方程，再根據有關知識判斷方程的解的情況．
點評：本題主要考查線面平行的證明、二面角的求解以及線面垂直的探索，解決此類問題的最好方法就是向量法，可以將其轉化為向量的基本運算．