Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點(diǎn)G，連接PG、GB、BD，證明AD⊥平面PGB，可得AD⊥PB；
（2）利用等體積法，找出其高和底，從而由體積公式求三棱錐P-MBD的體積．

解答：（1）證明：取AD的中點(diǎn)G，連接PG、GB．
∵PA=PD，∴PG⊥AD．
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．
（2）解：V_P-MBD=V_B-PMD=

1

3

SPMD×BO=

1

3

×

1

2

×

3

=

3

6

．

點(diǎn)評：本題主要考查線面垂直的判定定理，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．