Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明CD⊥平面PAC，然后證明CD⊥AE；
（Ⅱ）要證PD⊥平面ABE，只需證明PD垂直平面ABE內的兩條相交直線AE與AB即可．

解答：證明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A，
故CD⊥平面PAC．
又AE?平面PAC，∴CD⊥AE．
（Ⅱ）由題意：AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，從而AB⊥PD．
又AB=BC，且∠ABC=60°，
∴AC=AB，從而AC=PA．
又E為PC之中點，∴AE⊥PC．
由（Ⅰ）知：AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，從而AE⊥PD．
又AB∩AE=A，
故PD⊥平面ABE．

點評：本題考查直線與直線的垂直，直線與平面的垂直，考查直線與平面垂直判定定理的應用，考查空間想象能力．