Question

若直線l：ax+by=1（a＞0，b＞0）過點A（b，a），則以坐標原點O為圓心，OA長為半徑的圓的面積取最小值時直線l的方程為

2

x+

2

y=2

．

Answer 1

分析：把點A的坐標代入直線方程求得ab=

1

2

，要使圓的面積取最小，只要r²=OA²=a²+b² 最小．利用基本不等式求得r² 最小時的a、b的值，即可得到圓的面積取最小值時直線l的方程．

解答：解：∵直線l：ax+by=1（a＞0，b＞0）過點A（b，a），∴ab+ba=1，即ab=

1

2

．
由于半徑OA=r，要使OA長為半徑的圓的面積取最小，只要r²=OA²=a²+b² 最小．
由基本不等式可得 a²+b²≥2ab=1，當且僅當a=b=

2

2

時，取等號，故r²的最小值為1，
故以坐標原點O為圓心，OA長為半徑的圓的面積取最小值時直線l的方程為

2

2

x+

2

2

y=1，
即

2

x+

2

y=2，
故答案為

2

x+

2

y=2．

點評：本題主要考查基本不扥等式的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．