Question

14．已知點(diǎn)P是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=$\frac{2}{3}$，AB=1，則PC和平面ABC所成的角是（　�。�

• A． 90°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 30°

Answer 1

分析 作PO⊥平面ABC于O，則∠PCO為PC和平面ABC所成的角，由此能求出PC和平面ABC所成的角的大�。�

解答 解：作PO⊥平面ABC于O，
∵P是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=$\frac{2}{3}$，AB=1，
∴由已知O為外心，且AB⊥OC，
∴∠PCO為PC和平面ABC所成的角，
∴OC=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，PC=$\frac{2}{3}$，
∴cos∠PCO=$\frac{CO}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PCO=30°．
∴PC和平面ABC所成的角是30°．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．