Question

20．已知下列四個命題：
①函數f（x）=1og₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），g（x）=sin³x+tanx均是奇函數；
②函數f（x）=sin（x-$\frac{π}{4}$）的圖象的一個對稱中心是（-$\frac{3π}{4}$，0）；
③若函數f（x）的圖象關于點（1，0）成中心對稱圖形，且滿足f（4-x）=f（x），那么f（2012）=f（2013）；
④函數f（x）=1gx-cosx恰有3個零點．
其中正確命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 ①，f（x）+f（-x）=1og₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+1og₂（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）=0，g（x）+g（-x）=sin³x+tanx+sin³（-x）+tan（-x）；
②，f（-$\frac{3π}{4}$）=sin（-π）=0，∴（-$\frac{3π}{4}$，0）是f（x）圖象的一個對稱中心；
③，函數f（x）的圖象關于點（1，0）成中心對稱圖形，∴f（2-x）=-f（x），且f（4-x）=f（x）⇒f（4-x）=-f（2-x）⇒T=4⇒
f（2012）=f（0），f（2013）=f（1），∴f（2-x）=-f（x）∴，∴f（2-1）=-f（1）⇒f（1）=0，f（0）不能確定；
④，函數f（x）=1gx-cosx零點個數相當于函數g（x）=1gx與h（x）=-cosx，在同一坐標系中畫出兩函數圖象即可．

解答 解：對于①，∵f（x）+f（-x）=1og₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+1og₂（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）=0，g（x）+g（-x）=sin³x+tanx+sin³（-x）+tan（-x）=0均是奇函數，故正確；
對于②，f（-$\frac{3π}{4}$）=sin（-π）=0，∴（-$\frac{3π}{4}$，0）是f（x）圖象的一個對稱中心，故正確；
對于③，∵函數f（x）的圖象關于點（1，0）成中心對稱圖形，∴f（2-x）=-f（x），
且f（4-x）=f（x）⇒f（4-x）=-f（2-x）⇒T=4⇒
f（2012）=f（0），f（2013）=f（1），∴f（2-x）=-f（x）∴，∴f（2-1）=-f（1）⇒f（1）=0，f（0）不能確定，故錯；
對于④，函數f（x）=1gx-cosx零點個數相當于函數g（x）=1gx與h（x）=-cosx，在同一坐標系中畫出兩函數圖象，可知有三個交點，故正確．
故答案為：①②④

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到了函數的圖象與性質，屬于中檔題．