Question

6．定義域為R的函數f（x）滿足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，則不等式$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$＜2的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 先構造函數，根據導數判斷其單調性，再根據單調性即可求出．

解答 解：構造函數g（x）=$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）-1}{{e}^{x}}$
∵f'（x）＜f（x）+1，
∴g'（x）＜0，
故g（x）在R上為減函數，而g（0）=$\frac{f（0）+1}{{e}^{0}}$=2
不等式$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$＜2化為g（x）＜g（0），
解得x＞0，
故答案為：（0，+∞）．

點評 本題主要考查導數的基本運算，利用條件構造函數是解決本題的關鍵，有一點的難度．