Question

1．若函數(shù)f（x）=ax²+e^x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [-$\frac{e}{2}$，+∞）
• B． [0，+∞）
• C． [-e，+∞）
• D． [-2e，+∞）

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為2a≥-$\frac{{e}^{x}}{x}$在x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：∵f′（x）=2ax+e^x，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增，
問題等價(jià)于f′（x）=2ax+e^x≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
即2a≥-$\frac{{e}^{x}}{x}$在x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$，
x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（x）≤g（1）=-e，
∴2a≥-e，a≥-$\frac{e}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．