Question

12．設由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{y+2≥0}\\{x+y+2≤0}\end{array}\right.$表示的平面區域為Ω，P∈Ω，過點P作圓O：x²+y²=1的兩條切線，切點分別為A、B，記∠APB=α，則當α最小時，cosα=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{95}}{10}$
• B． $\frac{19}{20}$
• C． $\frac{9}{10}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 依據不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{y+2≥0}\\{x+y+2≤0}\end{array}\right.$，結合二元一次不等式（組）與平面區域的關系畫出其表示的平面區域，再利用圓的方程畫出圖形，確定α最小時點P的位置，最后利用二倍角公式計算即可．

解答 解：如圖陰影部分表示不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{y+2≥0}\\{x+y+2≤0}\end{array}\right.$，確定的平面區域，
當P離圓O最遠時α最小，此時點P坐標為：（-4，-2），
記∠APO=β，則α=2β，則sinβ=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{1}{2\sqrt{5}}$，
則cosα=cos2β=1-2sin²β=1-2×（$\frac{1}{2\sqrt{5}}$）²，
計算得cosα=$\frac{9}{10}$，
故選：C．

點評 本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．借助于平面區域特性，用幾何方法處理代數問題，體現了數形結合思想、化歸思想．