Question

【題目】直線l過點M(2，1)，且分別交x軸、y軸的正半軸于點A、B.點O是坐標原點．

(1)當△ABO的面積最小時，求直線l的方程；

(2)當最小時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）x＋2y－4＝0（2）x＋y－3＝0

【解析】

(1)如圖，設＝a，＝b，△ABO的面積為S，則S＝ab，并且直線l的截距式方程是＝1，

由直線通過點(2，1)，得＝1，所以.

因為A點和B點在x軸、y軸的正半軸上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得

S＝×b＝×b＝＝b＋1＋＝b－1＋＋2≥2＋2＝4.

當且僅當b－1＝，即b＝2時，面積S取最小值4，這時a＝4，直線的方程為＝1.

即直線l的方程為x＋2y－4＝0.

(2)如上圖，設∠BAO＝θ，則＝，＝，

所以＝·＝，

當θ＝45°時，有最小值4，此時直線斜率為－1，∴直線l的方程為x＋y－3＝0