Question

【題目】如圖，點是雙曲線上的動點，是雙曲線的焦點，M是的平分線上一點，且，某同學用以下方法研究：延長交于點N，可知為等腰三角形，且M為的中點，得，類似地：點是橢圓上的動點，橢圓的焦點，M是的平分線上一點，且則的取值范圍是______

Answer 1

【答案】

【解析】

利用M是∠F1PF2平分線上的一點，且F2M⊥MP，判斷OM是三角形F1F2N的中位線，把OM用PF1，PF2表示，再利用橢圓的焦半徑公式，轉化為用橢圓上點的橫坐標表示，借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍．

如圖，延長F2M，交PF1與N點，

∵PM是∠F1PF2平分線，且0，

且F2M⊥MP，

∴|PN|＝|PF2|，M為F2N的中點，

連接OM，

∵O為F1F2中點，M為F2N中點，

∴|OM||F1N|||PF1|﹣|PN||||PF1|﹣|PF2||

∵在橢圓1（a＞b＞0）中，

設P點坐標為（x0，y0）

則|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0，

∴||PF1|﹣|PF2||＝|a+ex0﹣a+ex0|＝|2ex0|＝2e|x0||x0|，

即有|OM||x0|，

∵P點在橢圓1（a＞b＞0）上，

∴|x0|∈（0，a]，

又∵當|x0|＝a時，F2M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a），

∴|OM|∈（0，c）=．

故答案為：．