Question

11．在四邊形ABCD中（如圖①），AB∥CD，AB⊥BC，G為AD上一點，且AB=AG=1，GD=CD=2，M為GC的中點，點P為邊BC上的點，且滿足BP=2PC．現沿GC折疊使平面GCD⊥平面ABCG（如圖②）．
（1）求證：平面BGD⊥平面GCD：
（2）求直線PM與平面BGD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理，證明BG⊥GC，根據平面與平面垂直的性質，證明BG⊥平面GCD，即可證明平面BGD⊥平面GCD：
（2）取BP的中點H，連接GH，則GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，連接GQ，則∠HGQ為直線GH與平面BGD所成的角，即直線PM與平面BGD所成角．

解答 （1）證明：在直角梯形ABCD中，AB=AG=1，GD=CD=2，BC=2$\sqrt{2}$，cosD=$\frac{1}{3}$，
∴GC=$\sqrt{4+4-2×2×2×\frac{1}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，BG=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴BG²+GC²=BC²，∴BG⊥GC，
∵平面GCD⊥平面ABCG，平面GCD∩平面ABCG=GC，
∴BG⊥平面GCD，
∵BG?平面GCD，
∴平面BGD⊥平面GCD：
（2）解：取BP的中點H，連接GH，則GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，連接GQ，則∠HGQ為直線GH與平面BGD所成的角，即直線PM與平面BGD所成角．
由（1），作CN⊥GD，則CN⊥平面BGD，
∵HQ⊥平面BGD，
∴HQ∥GN，
∴$\frac{HQ}{CN}$=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴HQ=$\frac{1}{3}$CN．
△DGC中，GC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，DM=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
由GD•CN=GC•DM，得CN=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴HQ=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∵直角梯形ABCD中，GH=$\frac{4}{3}$，∴sin∠HGQ=$\frac{HQ}{GH}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴直線PM與平面BGD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定與性質，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．