Question

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x），若對任意實數(shù)x有f（x）＞f′（x），且y=f（x）-1的圖象過原點，則不等式$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，研究g（x）的單調性，結合原函數(shù)的性質和函數(shù)值，即可求解

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定義域上單調遞減
∵f（x）＜e^x
∴g（x）＜1
∵y=f（x）-1的圖象過原點，
∴f（0）=1
又∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故答案為（0，+∞）

點評 本題考查函數(shù)單調性，結合已知條件構造函數(shù)，然后用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性是解題的關鍵．