Question

14．已知函數f（x）=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$．
（1）求證：f（x）是偶函數；
（2）判斷函數f（x）在（0，$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞）上的單調性并用定義法證明．

Answer 1

分析 （1）、根據題意，先分析函數的定義域，進而求出f（-x），分析與f（x）的關系，即可得證明；
（2）、根據題意，分析可得函數f（x）在（0，$\sqrt{2}$）為減函數，在（$\sqrt{2}$，+∞）上為增函數；進而利用作差法證明即可．

解答 解：（1）f（x）=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$，則其定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，
f（-x）=（-x）²+$\frac{4}{{（-x）}^{2}}$=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$=f（x），
故函數f（x）為偶函數，
（2）根據題意，函數f（x）在（0，$\sqrt{2}$）為減函數，在（$\sqrt{2}$，+∞）上為增函數；
證明如下：
設0＜x₁＜x₂＜$\sqrt{2}$，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁）²+（$\frac{4}{{x}_{{1}^{2}}}$）-（x₂）²+（$\frac{4}{{x}_{{2}^{2}}}$）
=[（x₁）²-（x₂）²][$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}-4}{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$]=[（x₁-x₂）（x₁+x₂）][$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}-4}{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$]，
又由0＜x₁＜x₂＜$\sqrt{2}$，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，
則f（x）在（0，$\sqrt{2}$）為減函數，
同理設$\sqrt{2}$＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁）²+（$\frac{4}{{x}_{{1}^{2}}}$）-（x₂）²+（$\frac{4}{{x}_{{2}^{2}}}$）
=[（x₁）²-（x₂）²][$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}-4}{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$]=[（x₁-x₂）（x₁+x₂）][$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}-4}{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$]，
又由$\sqrt{2}$＜x₁＜x₂，
分析可得f（x₁）-f（x₂）＜0，
則f（x）在（0，$\sqrt{2}$）為增函數．

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性的證明，注意證明函數的奇偶性時要先分析函數的定義域．