Question

20．已知圓C經過點A（0，3）和B（3，2）且圓心C在直線y=x上．
（1）求圓C的方程；
（2）求傾斜角為45°且與圓C相切的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心坐標與半徑，即可求圓C的方程；
（2）設直線l的方程為y=x+b，由（1）可知圓心C到直線l的距離$d=\frac{{|{1-1+b}|}}{{\sqrt{1+1}}}=\sqrt{5}$，即可求得直線l的方程．

解答 解：（1）依題意易得線段AB的中垂線方程為 y=3x-2．…（3分）
聯立方程組 $\left\{{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=3x-2}\end{array}}\right.$，解得x=y=1
所以圓心 C（1，1），
所以圓 C的方程為（x-1）²+（y-1）²=5．…（6分）
（2）∵直線l的傾斜角為45°
∴k=tan45°=1…（8分）
∴可設直線l的方程為y=x+b
由（1）可知圓心C到直線l的距離$d=\frac{{|{1-1+b}|}}{{\sqrt{1+1}}}=\sqrt{5}$…（11分）
解得$b=±\sqrt{10}$
∴直線l的方程為$y=x±\sqrt{10}$…（12分）

點評 本題考查直線與圓的方程，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．