Question

12．若雙曲線的頂點為橢圓2x²+y²=2長軸的端點，且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積為1，則雙曲線的方程是（　　）

• A． x²-y²=1
• B． y²-x²=1
• C． y²-x²=2
• D． x²-y²=2

Answer 1

分析 化橢圓方程為標準方程，求出長半軸長及離心率，得到雙曲線的實半軸長及離心率，進一步求得雙曲線的半焦距，結合隱含條件求得虛半軸長，則雙曲線方程可求．

解答 解：由橢圓2x²+y²=2，得${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
∴a²=2，b²=1，則$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$，a=$\sqrt{2}$．
則e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴雙曲線的實半軸長m=$\sqrt{2}$，離心率e′=$\sqrt{2}$，
則雙曲線的半焦距c′=$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，則虛半軸長n=$\sqrt{（c′）^{2}-{m}^{2}}=\sqrt{2}$．
∴雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}=1$，即y²-x²=2．
故選：C．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的簡單性質，考查雙曲線的標準方程及橢圓的標準方程，屬于基本知識直接應用題，雙基考查題．