Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x-1|，g（x）=-|x+3|+a（a∈R）
（1）若a=6，解不等式f（x）＞g（x）；
（2）若函數(shù)y=2f（x）的圖象恒在函數(shù)y=g（x）的圖象的上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據絕對值不等式的幾何意義求出不等式的解集即可；
（2）由題意可得2f（x）-g（x）＞0，即a＜2|x-1|+|x+3|．設h（x）=2|x-1|+|x+3|，利用單調性求的h（x）的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（1）原不等式可化為：|x-1|+|x+3|＞6，
由絕對值的幾何意義得：
不等式的解集是{x|x＞2或x＜-4}；
（2）y=2f（x）圖象恒在g（x）圖象上方，
故2f（x）-g（x）＞0，等價于a＜2|x-1|+|x+3|，
設h（x）=2|x-1|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x≤-3}\\{5-x，-3＜x≤1}\\{3x+1，x＞1}\end{array}\right.$，
根據函數(shù)h（x）的單調減區(qū)間為（-∞，1]、增區(qū)間為（1，+∞），
可得當x=1時，h（x）取得最小值為4，
∴a＜4時，函數(shù)y=2f（x）的圖象恒在函數(shù)y=g（x）的上方．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．