【題目】某貧困地區幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路
，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道
，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區邊界的直線型公路
， 以所在的直線分別為
軸，
軸， 建立平面直角坐標系
， 如圖所示， 山區邊界曲線為
，設公路與曲線
相切于點
，的橫坐標為
.
（1）當為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；
（2）當公路的長度最短時，設公路交軸，軸分別為
，
兩點，并測得四邊形
中，
，
，
千米，
千米，求應開鑿的隧道的長度.
【答案】（1）當
時，公路
的長度最短為
千米；（2）
（千米）.
【解析】
（1）設切點
的坐標為
，利用導數的幾何意義求出切線的方程為
，根據兩點間距離得出
，構造函數
，利用導數求出單調性，從而得出極值和最值，即可得出結果；
（2）在
中，由余弦定理得出
，利用正弦定理
，求出
，最后根據勾股定理即可求出
的長度.
（1）由題可知，設點的坐標為，
又
，
則直線的方程為，
由此得直線與坐標軸交點為：
，
則，故
，
設，則
.
令
，解得
=10.
當
時，
是減函數；
當
時，
是增函數.
所以當時，函數
有極小值，也是最小值，
所以
， 此時
.
故當時，公路的長度最短，最短長度為千米.
（2） 在中，
，
,
所以
，
所以，
根據正弦定理
,
，
，
，
又
，
所以
.
在
中，
，，
由勾股定理可得
，
即
，
解得，
（千米）.
靈星計算小達人系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（1）解關于
的不等式：
；
（2）當
時，過點
是否存在函數
圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在,說明理由；
（3）若
是使
恒成立的最小值，試比較
與
的大小（
）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知平面向量
，
滿足：||＝2，||＝1．
（1）若（
2）（
）＝1，求的值；
（2）設向量，的夾角為θ．若存在t∈R，使得
，求cosθ的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，分別過橢圓
左、右焦點
的動直線
相交于
點，與橢圓
分別交于
與
不同四點，直線
的斜率
滿足
．已知當
與
軸重合時，
，
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在定點
，使得
為定值？若存在，求出點坐標并求出此定值；若不存在，說明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，
和
.
【解析】試題分析：（1）當
與
軸重合時，
垂直于軸，得
,得
,
從而得橢圓的方程；（2）由題目分析如果存兩定點，則
點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，所以把
坐標化，可得
點的軌跡是橢圓，從而求得定點
和點
.
試題解析：
當與軸重合時，
, 即
,所以
垂直于軸，得
，
，, 得
,
橢圓
的方程為
.
焦點
坐標分別為
, 當直線
或斜率不存在時，點坐標為
或
;
當直線斜率存在時，設斜率分別為
, 設
由
, 得：
, 所以:
，
, 則：
. 同理：
, 因為
, 所以
, 即
, 由題意知
, 所以
， 設
，則
，即
，由當直線或斜率不存在時，點坐標為或也滿足此方程，所以點在橢圓
上.存在點和點，使得
為定值，定值為
.
考點：圓錐曲線的定義，性質，方程.
【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應用進行考查，第一問通過兩個特殊位置，得到基本量，，得,,從而得橢圓的方程，第二問由題目分析如果存兩定點，則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，本題的關鍵是從這個角度出發，把
坐標化，求得點的軌跡方程是橢圓
，從而求得存在兩定點和點.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的極值；
（Ⅱ）若函數
的兩個零點為
，記
，證明：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我區的中小學辦學條件在政府的教育督導下，迅速得到改變.督導一年后.分別隨機抽查了高中（用
表示）與初中（用
表示）各10所學校.得到相關指標的綜合評價得分（百分制）的莖葉圖如圖所示.則從莖葉圖可得出正確的信息為（80分及以上為優秀）（ ）
①高中得分與初中得分的優秀率相同
②高中得分與初中得分的中位數相同
③高中得分的方差比初中得分的方差大
④高中得分與初中得分的平均分相同
A.①②B.①③C.②④D.③④
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