Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求證：；

（2）當時，若不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若，證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

（1）當時，，根據導數可得函數的最小值為，從而可得結論成立；（2）由條件得，令，則．然后分為和兩種情況進行討論，可得所求范圍．（3）由（2）得當，時，．故要證不等式成立，只需證，只需證明，只需證 ，然后構造函數并利用函數的單調性可得結論成立．

（1）當時，，

∴，

當時，；當時，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，

∴.

（2）由條件得，

令，則.

①當時，在上，，單調遞增，

∴，即，

∴在上為增函數，

∴，

∴時滿足條件.

②當時，令，解得，在上，，單調遞減，

∴當時，有，即 ，

∴在上為減函數，

∴，不合題意.

綜上實數的取值范圍為．

（3）由（2）得，當，時，，即，

要證不等式，

只需證明，

只需證明，

只需證 ，

設，

則，

∴當時，恒成立，故在上單調遞增，

又，

∴恒成立．

∴原不等式成立．