Question

【題目】過圓錐軸的截面為等腰直角三角形，為底面圓周上一點，已知，圓錐體積為，點為底面圓的圓心

（1）求該圓錐的全面積

（2）求異面直線與所成角的大小（結果用反三角函數表示）

（3）求點到平面的距離

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）設底面圓的半徑為,則高,利用體積公式求出,即可求出側面積,進而求得該圓錐的全面積;

（2）連接并延長交圓周于點,再連接,則,所以四邊形是平行四邊形,,的大小為異面直線與所成角的大小;

（3）求三棱錐的體積以為頂點,以底面,也可以為頂點,以底面,通過等體積法求解點到平面的距離.

（1）設底面圓的半徑為

等腰直角,故:

根據圓錐的體積計算公式:

得:

母線的長為

圓錐的側面展開圖為扇形,根據扇形面積公式:

圓錐的側面積為:

圓錐的全面積

（2）

如圖:連接并延長交圓周于點, 再連接

四邊形是平行四邊形,得

的大小為異面直線與所成角的大小.

由（1）知在中,,

過點作于點

為等腰三角形,故

在中有:

（3） 根據三棱錐的體積計算公式:

在中 可得:

中 故:

得:

解得:

點到平面的距離為:.