Question

【題目】已知函數，其中.

（1）求函數的單調區間.

（2）若函數有兩個極值點、，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析 （2）見解析.

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，研究導數中二次函數的單調性及零點的分布，從而求出函數的單調區間；

（2）通過韋達定理，將所證明的函數中的與a都用表示，構造新函數，由條件求得新函數的定義域，進而再利用導數求值域，即可證明結論.

（1）的定義域為，

令，

①即，即，即，當且僅當，時

所以在單調遞增

②且，即，的兩根，

，，即，在單調遞減，，，即，在單調遞增.

③且，即時，的兩根，

，，即，在單調遞增，，，即，在單調遞減，，，即，在單調遞增，

綜合上述：時，的單調增區間為

時，的單調增區間為，，

單調減區間為

，的單調增區間為，單調減區間為.

（2）由（1）可知，有兩個極值點，則，且

則

=，

令，，

，則在，，則在上單調遞增，，

則.