Question

【題目】設(shè)，函數(shù)．

（1）若無零點，求實數(shù)的取值范圍．

（2）若，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)性及值域，確定a的范圍即可；

（2）問題轉(zhuǎn)化為證明ex﹣2x2+x﹣1＞0（x＞0）恒成立，令g（x）＝ex﹣2x2+x﹣1＞0，（x＞0），求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性及最值，證明即可．

（1）∵，∴定義域是又，

①當(dāng)時，無零點；

②當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，

又當(dāng)時，，所以有唯一的零點；

③當(dāng)時，

∴在遞增，在遞減，

∴，則只要，即，

∴而，∴，

綜上所述：所求的范圍是．

（2）時，，，

要證，問題轉(zhuǎn)化為證明，

整理得：恒成立，

令，

，

故在遞減，在遞增，

故，

故存在，

使得，

故當(dāng)或時，遞增，

當(dāng)時，遞減，

故的最小值是或，

由，得，

，

∵，故，

故時，，原不等式成立．