Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若有兩個不同的極值點，，求實數(shù)的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由得，根據(jù)有兩個不同的極值點，，則有兩個不同的零點，即方程有兩個不同的實根，轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個不同的交點求解.

（2）由（1）知，設(shè)，則，由得，，要證，將 代入整理為，再令，轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，研究其最大值即可.

（1）由得，

有兩個不同的極值點，，則有兩個不同的零點，

即方程有兩個不同的實根，

即直線與的圖象有兩個不同的交點，

設(shè)，則，

時，單調(diào)遞增，且的取值范圍是；

時，單調(diào)遞減，且的取值范圍是，

所以當(dāng)時，直線與的圖象有兩個不同的交點，

有兩個不同的極值點，，

故實數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1）知，設(shè)，則，

由得，

所以要證，只需證，

即證，即證，

設(shè)，即證，即證，

設(shè)，則，

所以在是增函數(shù)，，

所以，從而有.