Question

【題目】已知函數(shù).

（1）解關(guān)于的不等式：；

（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)是否存在函數(shù)圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在,說明理由；

（3）若是使恒成立的最小值，試比較與的大小（）.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）不存在，理由見解析；（3）.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，解之即可；

（2）由題意可得，切線斜率為，設(shè)，求導(dǎo)可得在上遞減，上遞增，故，所以方程無(wú)解，問題得解；

（3）由整理，得，在上單調(diào)遞增，最小值1，所以，即，故，，令，可得，即可得出.

（1）由已知，得

當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>

①當(dāng)時(shí)，，原不等式等價(jià)于：

，

解得；

②當(dāng)時(shí)，，原不等式等價(jià)于：

，

解得.

（2）當(dāng)時(shí)，，

設(shè)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，

求導(dǎo)，得，故切線斜率

由題意，得，即

設(shè)，則，

在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，

所以沒有實(shí)根，故不存在切線.

（3）由整理，得

由（2）可知，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)取得最小值1，

由題意可得，即，故，

.

令，則，

而，即，

，

.