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10.已知冪函數f(x)=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$(m∈Z)為偶函數,且在區間(0,+∞)上是單調增函數.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)設函數g(x)=$\sqrt{f(x)}$+2x+c,若g(x)>2對任意的x∈R恒成立,求實數c的取值范圍.

分析 (1)利用冪函數的奇偶性與單調性即可得出.
(2)由(1)知f(x)=x4,則g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1).由g(x)>2對任意的x∈R恒成立,可得:g(x)min>2,且x∈R,解出即可得出.

解答 解:(1)∵f(x)在區間(0,+∞)上是單調增函數,
∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,解得-1<m<3.
又m∈Z,∴m=0,1,2,
而m=0,2時,f(x)=x3不是偶函數,m=1時,f(x)=x4是偶函數.
∴f(x)=x4
(2)由(1)知f(x)=x4,則g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1).
∵g(x)>2對任意的x∈R恒成立,
∴g(x)min>2,且x∈R,則c-1>2,解得c>3.
故實數c的取值范圍是(3,+∞).

點評 本題考查了冪函數的奇偶性與單調性、二次函數的單調性、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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