Question

10．已知冪函數f（x）=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈Z）為偶函數，且在區間（0，+∞）上是單調增函數．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=$\sqrt{f（x）}$+2x+c，若g（x）＞2對任意的x∈R恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用冪函數的奇偶性與單調性即可得出．
（2）由（1）知f（x）=x⁴，則g（x）=x²+2x+c=（x+1）²+（c-1）．由g（x）＞2對任意的x∈R恒成立，可得：g（x）_min＞2，且x∈R，解出即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）在區間（0，+∞）上是單調增函數，
∴-m²+2m+3＞0，即m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3．
又m∈Z，∴m=0，1，2，
而m=0，2時，f（x）=x³不是偶函數，m=1時，f（x）=x⁴是偶函數．
∴f（x）=x⁴．
（2）由（1）知f（x）=x⁴，則g（x）=x²+2x+c=（x+1）²+（c-1）．
∵g（x）＞2對任意的x∈R恒成立，
∴g（x）_min＞2，且x∈R，則c-1＞2，解得c＞3．
故實數c的取值范圍是（3，+∞）．

點評 本題考查了冪函數的奇偶性與單調性、二次函數的單調性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．