Question

11．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）x+5，（x≤12）}\\{{a}^{x-13}，（x＞12）}\end{array}\right.$，若數列{a_n}滿足a_n=f（n）（n∈N^*），且對任意的兩個正整數m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＜0，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）
• C． （$\frac{3}{4}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 由題意可得數列{a_n}是遞減數列，根據函數得單調性可得$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＜0}\\{0＜a＜1}\\{12（1-2a）+5≥\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：∵對任意的兩個正整數m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＜0，
∴數列{a_n}是遞減數列，
又∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）x+5，（x≤12）}\\{{a}^{x-13}，（x＞12）}\end{array}\right.$，a_n=f（n）（n∈N^*），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＜0}\\{0＜a＜1}\\{12（1-2a）+5≥1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{2}{3}$
故實數a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]
故選A．

點評 本題考查的知識點是分段函數，其中根據分段函數中自變量n∈N^*時，對應數列為遞減數列，得到函數在兩個段上均為減函數，從而構造出關于變量a的不等式是解答本題的關鍵