Question

已知函數的定義域［-1，5］，部分對應值如表，的導函數的圖象如圖所示，下列關于函數的命題；

x	-1	0	2	4	5
F(x)	1	2	1.5	2	1

 

 

 

①函數的值域為［1，2］；

②函數在［0，2］上是減函數；

③如果當時，的最大值是2，那么t的最大值為4；

④當時，函數最多有4個零點.

其中正確命題的序號是 .

 

Answer 1

①②④

【解析】

試題分析：由的導函數的圖象可看出（如表格），

		0	（0,2）	2	（2,4）	4
	+	0	-	0	+	0	-
	單調遞增		單調遞減		單調遞增		單調遞減

由表格可知：函數在區間[-1，0）上單調遞增，在區間（0，2）上單調遞減，在區間（2，4）上單調遞增，在區間（4，5]上單調遞增．∴②正確；

∴函數在x=0和x=4時，分別取得極大值，在x=2時取得極小值，且由對應值表f（0）=2，f（2）=1.5，f（4）=2，又f（-1）=1，f（5）=1．

∴函數的值域為[1，2]．∴①正確；

根據已知的對應值表及表格畫出圖象如下圖：

③根據以上知識可得：當時，的最大值是2，則t=0，或4．故③不正確；

④由圖象可以看出：當1.5＜a＜2時，函數有4個零點；

當a=2時，函數有2個零點；當a=1.5時，函數有3個零點；

當1≤a＜1.5時，函數有4個零點；

∴當1＜a＜2時，函數最多有4個零點．故④正確．

綜上可知①②④正確．

故答案為①②④．

考點：應用導數研究函數的單調性、極值，函數的零點.