Question

16．已知定義在R上的函數f（x），對任意x∈R，都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立，若函數y=f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，則f（2015）=（　　）

• A． -2
• B． 0
• C． 2
• D． 2015

Answer 1

分析 先由函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，得函數f（x）的圖象關于直線x=0對稱，即函數f（x）是偶函數，在已知條件中令x=-1可求f（1）及函數的周期，利用所求周期即可求解．

解答 解：∵函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，
∴由函數的圖象的平移可知函數y=f（x）關于x=0對稱，即函數為偶函數
∵f（x+2）=f（x）+f（1）
令x=-1可得
f（1）=f（-1）+f（1），
∴f（-1）=f（1）=0，
從而可得f（x+2）=f（x），
即函數是以2為周期的周期函數
∴f（2015）=f（1）=0，
故選：B．

點評 本題主要考查了利用賦值求解抽象函數的函數值，由圖象判斷函數的奇偶性，函數的周期的求解是求解本題的關鍵，屬于基礎題．