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16.已知定義在R上的函數f(x),對任意x∈R,都有f(x+2)=f(x)+f(1)成立,若函數y=f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱,則f(2015)=(  )
A.-2B.0C.2D.2015

分析 先由函數f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱,得函數f(x)的圖象關于直線x=0對稱,即函數f(x)是偶函數,在已知條件中令x=-1可求f(1)及函數的周期,利用所求周期即可求解.

解答 解:∵函數f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱,
∴由函數的圖象的平移可知函數y=f(x)關于x=0對稱,即函數為偶函數
∵f(x+2)=f(x)+f(1)
令x=-1可得
f(1)=f(-1)+f(1),
∴f(-1)=f(1)=0,
從而可得f(x+2)=f(x),
即函數是以2為周期的周期函數
∴f(2015)=f(1)=0,
故選:B.

點評 本題主要考查了利用賦值求解抽象函數的函數值,由圖象判斷函數的奇偶性,函數的周期的求解是求解本題的關鍵,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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(1)求函數f(x)的解析式;         
(2)求函數g(x)的單調區間;
(3)當x>y>e-1時,求證:ex-y>$\frac{ln(x+1)}{ln(y+1)}$.

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A.8B.5C.6D.4

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