Question

3．已知0＜θ＜$\frac{π}{2}$，若cos²θ+2msinθ-2m-2＜0對任意實數θ恒成立，則實數m應滿足的條件是（$-\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 構造函數f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，利用同角三角形函數關系，可將函數的解析式化為f（θ）=-（sinθ-m）²+m²-2m-1的形式，分0≤m＜1，m≥1，m＜0三種情況，討論函數的最大值，最后匯總討論結果，即可得到答案．

解答 解：設f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，
要使f（θ）＜0對任意的θ總成立，當且僅當函數y=f（θ）的最大值小于零．
f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2=1-sin²θ+2msinθ-2m-2=-（sinθ-m）²+m²-2m-1
∴當0≤m＜1時，0＜θ＜$\frac{π}{2}$，函數的最大值為：m²-2m-1＜0，解得0≤m＜1；
當m≥1時，函數的最大值小于f（$\frac{π}{2}$）=-2＜0，
∴m≥1時均成立；
當m＜0時，函數的最大值小于f（0）=-2m-1＜0，m＞-$\frac{1}{2}$，解得-$\frac{1}{2}＜m＜0$．
綜上得m的取值范圍是：（$-\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查的知識點是三角函數的最值，其中構造函數f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，將問題轉化為函數恒成立問題是解答本題的關鍵．