Question

已知數列，滿足，，，．

（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；

（2）設數列滿足，對于任意給定的正整數，是否存在正整數，()，使得，，成等差數列？若存在，試用表示，；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1），（2）當時，不存在，滿足題設條件；當時，存在，，滿足題設條件．

【解析】

試題分析：（1）求證數列是等差數列，就是確定為一個常數.因此首先得到關于與的關系式，因為，所以，則，然后按提示，將所求關系式進行變形，即取倒數，得：，又，所以，故是首項為，公差為的等差數列，即，所以.（2）先明確數列，由(1)得，所以，然后假設存在，得一等量關系：若，，成等差數列，則，如何變形，是解題的關鍵，這直接影響解題方向.題中暗示，用p表示，所以由得：.令得，因為要，所以分情況討論，當時，，，，成等差數列不成立．當時，，，即．

試題解析：（1）因為，所以，

則， 2分

所以，

又，所以，故是首項為，公差為的等差數列， 4分

即，所以． 6分

（2）由（1）知，所以，

①當時，，，，

若，，成等差數列，則（），

因為，所以，，，，

所以（）不成立． 9分

②當時，若，，成等差數列，

則，所以，

即，所以， 12分

欲滿足題設條件，只需，此時， 14分

因為，所以，，

即． 15分

綜上所述，當時，不存在，滿足題設條件；

當時，存在，，滿足題設條件． 16分

考點：等差數列定義，等差數列綜合應用