Question

19．（1）已知x∈[-3，2]，求f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$+1的最小值與最大值．
（2）已知函數f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-3x+3}$在[0，2]上有最大值8，求正數a的值．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數和指數函數的性質即可求出最值，
（2）根據指數函數和二次函數的性質即可求出

解答 解：（1）：f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$+1=（$\frac{1}{{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵x∈[-3，2]，
∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{{2}^{x}}$≤8．則當$\frac{1}{{2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$，即x=1時，f（x）有最小值$\frac{3}{4}$；
當$\frac{1}{{2}^{x}}$=8，即x=-3時，f（x）有最大值57．
（2）：設g（x）=x²-3x+3=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，當x∈[0，2]時，g（x）_max=3，g（x）_min=$\frac{3}{4}$，
當0＜a＜1時，a${\;}^{\frac{3}{4}}$=8，解得a=16，矛盾；
當a＞1時，a³=8，解得a=2．
綜上所述，a=2．

點評 本題考查了二次函數和指數函數的性質，利用函數的單調性求函數的最值，屬于中檔題