Question

17．已知雙曲線的左、右焦點分別是F₁，F₂，過F₂的直線交雙曲線的右支于P，Q兩點，若|PF₂|=|F₁F₂|，且|QF₂|=2|PF₂|，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{7}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 先作出圖形，并作出雙曲線的右準線l，設P到l的距離為d，根據雙曲線的第二定義即可求出Q到l的距離為2d．過Q作l的垂線QQ₁，而過P作QQ₁的垂線PM，交x軸于N，在△PMQ中有：$\frac{|N{F}_{2}|}{|MQ|}$=$\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}-d}p9vv5xb5$=$\frac{1}{3}$，這樣即可求得d=$\frac{3}{4}$（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$），根據已知條件及雙曲線的定義可以求出|PF₂|=2c-2a，所以根據雙曲線的第二定義即可得到$\frac{2c-2a}p9vv5xb5$=$\frac{c}{a}$，即可得出結論．

解答 解：如圖，l為該雙曲線的右準線，設P到右準線的距離為d；
過P作PP₁⊥l，QQ₁⊥l，分別交l于P₁，Q₁；
∵$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{P}_{1}|}$=$\frac{|Q{F}_{2}|}{|Q{Q}_{1}|}$，|QF₂|=2|PF₂|，
∴$\fracp9vv5xb5{|Q{Q}_{1}|}$=$\frac{1}{2}$，|QQ₁|=2d；
過P作PM⊥QQ₁，垂直為M，交x軸于N，則：$\frac{|N{F}_{2}|}{|MQ|}$=$\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}-d}p9vv5xb5$=$\frac{1}{3}$；
∴解得d=$\frac{3}{4}$（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$）
∵根據雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=2c-2a；
∴根據雙曲線的第二定義，$\frac{2c-2a}p9vv5xb5$=$\frac{c}{a}$，
整理成：（e-1）（3e-5）=0
∴雙曲線的離心率為$\frac{5}{3}$．
故選B．

點評 考查雙曲線的第二定義，雙曲線的準線方程，雙曲線的焦距、焦點的概念，以及對雙曲線的定義的運用，雙曲線的離心率的概念，相似三角形的比例關系．