Question

8．已知函數f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域，值域；
（2）討論函數f（x）的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）定義域易得，利用反解自變量的方法求值域即可．
（2）先把函數分離常數，在分底數和1的大小兩種情況再結合復合函數的單調性來判斷即可．

解答 解：（1）易得f（x）的定義域為{x|x∈R}．
設y=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$，解得a^x=-$\frac{y+1}{y-1}$①
∵a^x＞0當且僅當-$\frac{y+1}{y-1}$＞0時，方程①有解．解-$\frac{y+1}{y-1}$＞0得-1＜y＜1．
∴f（x）的值域為{y|-1＜y＜1}．
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
1°當a＞1時，∵a^x+1為增函數，且a^x+1＞0，
∴$\frac{2}{{a}^{x}+1}$為減函數，從而f（x）為增函數，
2°當0＜a＜1時，類似地可得f（x）為減函數；
證明如下：
設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{{a}^{{x}_{1}}+1}$-1+$\frac{2}{{a}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{（a}^{{x}_{1}}{-a}^{{x}_{2}}）}{{（a}^{{x}_{1}}+1）{（a}^{{x}_{2}}+1）}$，
0＜a＜1時，由x₁＜x₂，得：${a}^{{x}_{1}}$＞${x}^{{x}_{2}}$，
故f（x₁）＞f（x₂），f（x）是減函數，
a＞1時，由x₁＜x₂，得：${a}^{{x}_{1}}$＜${x}^{{x}_{2}}$，
故f（x₁）＜f（x₂），f（x）是增函數．

點評 本題是對函數定義域和值域以及單調性的綜合考查．在利用復合函數的單調性時，其原則是；單調性相同為增，單調性相反為減，且乘正數單調性不變，乘負數單調性相反．