Question

5．已知數列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1=qa_n+d（q，d為常數）．
（1）當q=1，d=2時，求a₂₀₁₇的值；
（2）當q=3，d=-2時，記${b_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}$，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，證明：${S_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）當q=1，d=2時，a_n+1-a_n=2，從而數列{a_n}是首項a₁=4，公差d=2的等差數列，由此能求出a₂₀₁₇．
（2）當q=3，d=-2時，a_n+1=3a_n-2變形得a_n+1-1=3（a_n-1），從而數列{a_n-1}是以3為首項，3為公比的等比數列，進而數列{b_n}是以$\frac{1}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，由此能證明${S_n}＜\frac{1}{2}$．

解答 （1）解：∵數列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1=qa_n+d（q，d為常數）．
∴當q=1，d=2時，a_n+1-a_n=2，
∴數列{a_n}是首項a₁=4，公差d=2的等差數列，
∴a_n=4+（n-1）×2=2n+2，
∴a₂₀₁₇=2×2017+2=4036．
（2）證明：當q=3，d=-2時，a_n+1=3a_n-2變形得a_n+1-1=3（a_n-1）
∴數列{a_n-1}是以3為首項，3為公比的等比數列，
∴${a_n}-1=3×{3^{n-1}}={3^n}$，∴${b_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}={（\frac{1}{3}）^n}$，
∴數列{b_n}是以$\frac{1}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3^n}）＜\frac{1}{2}$，
∴${S_n}＜\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數列的第2017項的求法，考查數列的前n項和小于$\frac{1}{2}$的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列、等比數列的性質的合理運用．