Question

13．某校某次N名學生的學科能力測評成績（滿分120分）的頻率分布直方圖如下，已知分數在100-110的學生數有21人（1）求總人數N和分數在110-115分的人數n．；
（2）現準備從分數在110-115的n名學生（女生占$\frac{1}{3}$）中選3位分配給A老師進行指導，設隨機變量ξ表示選出的3位學生中女生的人數，求ξ的分布列與數學期望Eξ；
（3）為了分析某個學生的學習狀態，對其下一階段的學習提供指導建議，對他前7次考試的數學成績x、物理成績y進行分析，該生7次考試成績如表

數學（x）	88	83	117	92	108	100	112
物理（y）	94	91	108	96	104	101	106

已知該生的物理成績y與數學成績x是線性相關的，求出y關于x的線性回歸方程 $\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$．若該生的數學成績達到130分，請你估計他的物理成績大約是多少？
附：對于一組數據（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$的斜率和截距的最小二乘估計分別為$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i-}\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據題意，計算分數在100-110內的頻率，求出該班總人數，再計算分數在110-115內的頻率，計算對應的人數；
（2）求出分數6名學生中女生有2名，得出6名學生中選出3人，女生人數ξ的可能取值，再計算對應的概率值，寫出ξ的分布列，計算數學期望值；
（3）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數$\stackrel{∧}{b}$、寫出對應線性回歸方程，根據方程計算x=130時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）分數在100-110內的學生的頻率為P₁=（0.04+0.03）×5=0.35，
所以該班總人數為N=$\frac{21}{0.35}$=60，
分數在110-115內的學生的頻率為
P₂=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，
分數在110-115內的人數為n=60×0.1=6；
（2）由題意分數在110-115內有6名學生，其中女生有2名，
從6名學生中選出3人，女生人數ξ的可能取值為0，1，2；
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$；
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

ξ的數學期望為Eξ=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1；
（3）計算$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$×（88+83+117+92+108+100+112）=100，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（94+91+108+96+104+101+106）=100；
由于x與y之間具有線性相關關系，
根據回歸系數公式得到$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i-}\overline{x}）^{2}}$=$\frac{497}{994}$=0.5，
$\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}$=100-0.5×100=50，
∴線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.5x+50，
∴當x=130時，$\stackrel{∧}{y}$=0.5×130+50=115．

點評 本題考查了頻率分布直方圖與線性回歸方程以及分布列和數學期望的計算問題，是綜合性題目．